Lecture 4. CSPs I
Constraint Satisfaction Problems
CSP 全称 Constraint Satisfaction Problems，即约束满足问题
不同于搜索问题必须要找出可行解（最优解），CSP 是识别问题：给定一个状态，只需要判断是否为目标状态，不需要考虑具体的实现
CSP 由三个要素构成：变量、域、约束
- CSP 拥有一个域（集合）表示 CSP 可以取的所有可能的值
- 从域中取出的单一的值为变量
- 约束定义了对变量值的限制
对于一般的 CSP，无法找到一个在多项式时间内解决的方法，即一般的 CSP 属于 NP-Hard 问题，其完整的状态空间往往巨大（对于一个有 \(N\) 个变量、每个变量域大小为 \(O(d)\) 的问题，总共有 \(O(d^{N})\) 种可能的赋值），使用朴素方法（穷举）的时间复杂度是巨大的
以 N 皇后问题为例，对应的 CSP 中：
- 变量为棋盘上的某一格子位置 \(X_{ij}\)；
- \(X_{ij}\) 的域为 \(\lbrace 0, 1 \rbrace\) 表示 \((i, j)\) 坐标是否存在皇后
- 约束为：同一行、同一列、同一对角线上只能有一个皇后，总共有 \(N\) 个皇后
如果只需要构造出一个解，该问题是 P 类问题；如果是预先放置部分皇后，问是否可以补齐到 \(N\) 个皇后，该问题是 NP-Complete（NP-Hard）问题；如果需要求出所有解，该问题是 #P-Complete（#P-Hard）问题（解的数量可参考 A000170 - OEIS）
对于一个 NP 问题，如果我们从问“是否存在”扩展到问“存在多少”，那么就是 #P 问题，很明显后者比前者更 Hard
如果考虑图搜索（回溯剪枝），后两个问题的时间复杂度为 \(O(N!)\)，都无法在多项式时间内解决